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By Ludwig Bieberbach (auth.)

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Semisimpliziale algebraische Topologie

In diesem Buch werden einige Gebiete der algebraischen Topologie, die guy heute größtenteils zum klassischen Bestand rechnet, mit semi­ simplizialen Methoden in einheitlicher Weise dargestellt. Der Begriff der semisimplizialen Menge ist dabei von grundlegender Bedeutung. Er wurde um 1950 von EILENBERG und ZILBER bei der Untersuchung der singulären Homologietheorie geprägt.

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2 Hier ist b1 (z) im Komplementargebiet von K; regular und, wie man durch Grenzubergang e -+ 0 sieht, sogar im Komplementargebiet von K 1 regular und ist b1 ( oo) = 0. rgebiet von K 2 regular. Wegen b1 (z) = b(z) - b2 (z) hat daher b1 (z) auf K 1 keine anderen moglichen Singularitaten als s, P und Q. Ist dann lz- hi = fJ ein Kreis, der K1 umschlieBt und der K 1 in s beruhrt, so ist b1 (z) in lz- hi > fJ regular, verschwindet in z = oo und hat auf lz- hi = fJ nur die eine singulare Stelle s. Nun ist b*(z) = f (-1)n :~ b(n) (z) =I: (-l)n :~ bin) (z) + j; (~ 1)n an~- b~n) z 0 0 0 0 0 0 = bf (z) + b~(z) .

5. Siitze von HURWITZ und CRAMER. 1) beweist MANDELBROJT [15, 16] mit Mitteln aus der Theorie der normalen Funktionenfamilien, insoweit er eine Abschatzung des Hauptsterns von h(a, b; z) zum Ausdruck bringt. 1. itzt, deutet G. P6LYA [11] an. 5. Satze von HuRwiTz und CRAMER. 1). Additionssatz von HuRWITZ (HURWITZ [1]). 1) konvergent fiir /z/ > rb. '..... 3) + rb. ~ {/z/ > r a} und b(z) so ist ~(a, b; z) rb}, > {/z/ holomorph und eindeutig in einem Gebiet B T eilgebiet des enthaltenden oo = z dem in eindeutig holomorph und S ummeng ebietes I st a(z) holomorph und eindeutig in einem Gebiet A ~ Durch A' ist die Komplementarmenge von A bezeichnet.

So hat ja auch schon E. LANDAU [2] S. 83/84 eine drei Zeilen fiillende Andeutung von FABRY in 10 Zeilen ausgefiihrt (FABRY [1], S. 382). Die Schwierigkeiten, die G. FABER beim Versuch, die Arbeit FABRYs zu lesen, empfand, haben ihn veranlaBt, in seiner Arbeit [3] einen anderen Beweisweg anzugeben. 15) durch eine fiir aile Intervalle gleichzeitig brauchbare ganze transzendente Hilfsfunktion. BERsche Ansatz hat in vielen Lehrbuchdarstellungen seinen Niederschlag gefunden (s. z. B. L. BIEBERBACH [2], E.

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